Question

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，已知向量

m

=(b，c-

2

a)，

n

=（cosC，cosB），且

m

⊥

n

．（1）求角B的大小；（2）求函数•f(x)=2sin2(B+x)-

3

cos2x(x∈R)的值域．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量垂直时满足的条件数量积为0，变形后利用正弦定理及两角和的正弦函数公式化简，根据三角形的内角和定理及诱导公式化简，当sinA不等于0时，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由（1）求出的B代入f（x），利用二倍角的余弦函数公式、诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）由

m

⊥

n

，得

m

•

n

=bcosC+(c- 

2

a)cosB=0，即bcosC+ccosB=

2

acosB，
由正弦定理得：sinBcosC+cosBsinC=

2

sinAcosB，即sin(B+C)=

2

sinAcosB，
∵sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，∴sinA=

2

sinAcosB，
由sinA≠O，得cosB=

2

2

，
∵B∈（0，π），∴B=

π

4

；
（2）由（1），得f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x=1-cos(

π

2

+2x)-

3

cos2x
=1+sin2x-

3

cos2x=1+2(sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

)=1+2sin(2x-

π

3

)，
∵x∈R，-1≤sin(2x-

π

3

)≤1，
∴-1≤f（x）≤3，
∴函数f（x）的值域为[-1，3]．

点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简求值，掌握平面向量垂直时满足的条件，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．