Question

（2012•安徽模拟）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．
（Ⅰ）从盒子中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数的概率；
（Ⅱ）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为奇数的概率；
（III）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回的事件有C₅²种，因为1，3，5是奇数，2、4是偶数，两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数包含的事件有C₃²+C₂²种；
（Ⅱ）设B表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为奇数”，由已知，每次取到的卡片上数字为奇数的概率为

3

5

，根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式解之即可；
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为1，2，3，然后分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）因为1，3，5是奇数，2、4是偶数，
设事件A为“两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数”（2分）
P(A)=

C 2 3 + C 2 2

C 2 5

=

2

5

（4分）
（Ⅱ）设B表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为奇数”，（5分）
由已知，每次取到的卡片上数字为奇数的概率为

3

5

，（6分）
则P(B)=

C

2 3

•(

3

5

)2•(1-

3

5

)=

54

125

（8分）
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为1，2，3．
P(X=1)=

3

5

，
P(X=2)=

2×3

5×4

=

3

10

，
P(X=3)=

2×1×3

5×4×3

=

1

10

，（11分）
所以X的分布列为

X	1	2	3
P	3 5	3 10	1 10

E(X)=1×

3

5

+2×

3

10

+3×

1

10

=

3

2

．（13分）

点评：本题主要考查了等可能事件的概率，以及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，同时考查了离散型随机变量及其分布列与数学期望，属于中档题．