题目内容

已知函数若函数在x = 0处取得极值.
(1) 求实数的值;
(2) 若关于x的方程在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围;
(3)证明:对任意的正整数n,不等式都成立.
(1);(2) ;(3)见解析.

试题分析:(1)先有已知条件写出的解析式,然后求导,根据导数与函数极值的关系得到,解得的值;(2)由构造函数,则上恰有两个不同的实数根等价于恰有两个不同实数根,对函数求导,根据函数的单调性与导数的关系找到函数的单调区间,再由零点的存在性定理得到,解不等式组即可;(3)证明不等式,即是证明,即.对函数求导,利用导数研究函数的单调性,找到其在区间上的最大值,则有成立,那么不等式得证.
试题解析:(1) 由题意知,   2分
时, 取得极值,∴,故,解得
经检验符合题意.                                                       4分
(2)由
 ,得,                          5分

上恰有两个不同的实数根等价于恰有两个不同实数根. ,         7分
时,,于是上单调递增;
时,,于是上单调递减.依题意有
,即, .9分
(3) 的定义域为,由(1)知
得, (舍去),                 11分
∴当时,单调递增;
时,单调递减.  ∴上的最大值.
,故 (当且仅当时,等号成立)  12分
对任意正整数,取得,
.                                            14分
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