题目内容

已知函数,其中是自然对数的底数,
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若,求的单调区间;
(3)若,函数的图象与函数的图象有3个不同的交点,求实数的取值范围.

(1);(2)当时,的单调递减区间为,单调递增区间为;当时,的单调递减区间为;当时,的单调递减区间为,单调递增区间为;(3).

解析试题分析:(1) 利用导数的几何意义求切线的斜率,再求切点坐标,最后根据点斜式直线方程求切线方程;(2)利用导数的正负分析原函数的单调性,注意在解不等式时需要对参数的范围进行讨论;(3)根据单调性求函数的极值,根据其图像交点的个数确定两个函数极值的大小关系,然后解对应的不等式.
试题解析:(1)因为
所以
所以曲线在点处的切线斜率为.
又因为
所以所求切线方程为,即.         2分
(2)
①若,当时,;当时,.
所以的单调递减区间为
单调递增区间为.                    4分
②若
所以的单调递减区间为.                    5分
③若,当时,;当时,.
所以的单调递减区间为
单调递增区间为.                 7分
(3)由(2)知函数上单调递减,在单调递增,在上单调递减,
所以处取得极小值,在处取得极大值.  8分
,得.
时,;当时,.
所以上单调递增,在单调递减,在上单调递增.
处取得极大值,在处取得极小值. 10分
因为函数与函数的图象有3个不同的交点,
所以,即

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