Question

（2000•上海）根据指令（r，θ）（r≥0，-180°＜θ≤180°），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转-θ），再朝其面对的方向沿直线行走距离r．
（Ⅰ）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）．
（Ⅱ）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）．

Answer 1

分析：（I）由题意，r=4

2

，θ=45°，根据机器人的转动规则进行解答，即可得到结论；
（II）根据小球速度是机器人速度的2倍，建立方程，即可求得结论．

解答：解：（I）由题意，r=4

2

，θ=45°，
得指令为(4

2

，45°)，…（4分）
（II）设机器人最快在点P（x，0）处截住小球…（6分）
则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有|17-x|=2

(x-4)2+(0-4)2

，…（8分）
即3x²+2x-161=0
得x=-

23

3

或x=7
∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，
∴x=7
故机器人最快可在点P（7，0）处截住小球，…（10分）
所给的指令为（5，-98.13°）…（14分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．