题目内容
已知四棱锥P-ABCD（如图）底面是边长为2的正方形．PA⊥平面ABCD，PA=2，M、N分别为AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q．（Ⅰ）求证：平面PMN⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-MN-Q的余弦值．
分析：（Ⅰ）要证明平面PMN⊥平面PAD，我们只要证明一个平面经过另一个平面的垂线即可，分析图中已知直线易得，MN⊥平面PAD满足要求，故我们可以先MN⊥平面PAD，然后根据面面垂直的判定定理，即可求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角，解三角形PMQ，即可得到答案．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角，解三角形PMQ，即可得到答案．
解答：证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，MN?底面ABCD
∴MN⊥PA
又∵MN⊥AD，且PA∩AD=A
∴MN⊥平面PAD
又∵MN?平面PMN
∴平面PMN⊥平面PAD
（Ⅱ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知：PM⊥MN，MQ⊥MN
∴∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角
而PM=
，MQ=
，
∴cos∠PMQ=
=
∴MN⊥PA
又∵MN⊥AD，且PA∩AD=A
∴MN⊥平面PAD
又∵MN?平面PMN
∴平面PMN⊥平面PAD
（Ⅱ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知：PM⊥MN，MQ⊥MN
∴∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角
而PM=
| 5 |
| ||
| 2 |
∴cos∠PMQ=
| MQ |
| PM |
| ||
| 10 |
点评：本题以四棱锥为载体，借助于线面垂直证明面面垂直，考查面面角，注意解题步骤：作、证、求．
练习册系列答案
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