题目内容

下列命题：
①函数y=sin（2x+
π
3
）的单调减区间为[kπ+
π
12
，kπ+
7π
12
]，k∈Z；
②函数y=
3
cos2x-sin2x图象的一个对称中心为（
π
6
，0）；
③函数y=sin（
1
2
x-
π
6
）在区间[-
π
3
，
11π
6
]上的值域为[-
3
2
，
2
2
]；
④函数y=cosx的图象可由函数y=sin（x+
π
4
）的图象向右平移
π
4
个单位得到；
⑤若方程sin（2x+
π
3
）-a=0在区间[0，
π
2
]上有两个不同的实数解x1，x2，则x1+x2=
π
6
．
其中正确命题的序号为
 
．
分析：①令
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
≤
π
2
+2kπ可求
②利用两角和的余弦公式化简可得y=2cos(2x+
π
6
)，令2x+
π
6
=kπ+
π
2
，求出函数的对称中心
③由
-π
3
≤x≤
11π
6
可得
-π
3
≤
1
2
x-
π
6
≤
3π
4
，结合正弦函数的图象可求函数的值域
④根据函数的图象平移法则：左加右减的平移法则可得
⑤根据正弦函数的图象结合函数的对称性可得．
解答：解：①令
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
≤ 
3π
2
+2kπ，解得
π
12
+2kπ≤ x ≤
7π
12
+kπ，k∈Z，，故①正确
②y=
3
cos2x-sin2x=2cos(2x+
π
6
)，令2x+
π
6
=kπ+
π
2
，解得x=
π
6
+kπ，
k=0时函数的一个对称中心（
π
6
，0）②正确
③y=sin(
1
2
x-
π
6
)，当-
1
3
π≤x≤
11
6
π，-
π
3
≤ 
1
2
x-
π
6
≤  
3π
4
，结合正弦函数的图象可得-
3
2
≤y≤1，③错误
④由函数y=sin（x+
π
4
）的图象向右平移
π
4
个单位得到y=sinx的图象，故④错误
⑤令y=sin（2x+
π
3
），当x∈[0，
π
2
]时，2x+
π
3
∈[
π
3
，
4
3
π]，若使方程有两解，则两解关于x=
π
12
对称，
则x1+x2=
π
6
，故⑤正确
故答案为：①②⑤
点评：本题综合考查了三角函数y=Asin（ωx+∅）（A＞0，ω＞0）的性质：函数的单调区间的求解，函数的对称中心的求解，函数在闭区间上的最值的求解及函数图象的平移，还用到了两角和的余弦公式，而解决本题的关键是要熟练掌握并能灵活运用三角函数的图象．
练习册系列答案
相关题目
给出下列命题：
①函数y=sin(
5π
2
-2x)是偶函数；
②函数y=sin(x+
π
4
)在闭区间[-
π
2
，
π
2
]上是增函数；
③直线x=
π
8
是函数y=sin(2x+
5π
4
)图象的一条对称轴；
④若cosx=-
1
3
，x∈(0，2π)，则x=arcos（-
1
3
）或π+arcos（-
1
3
）
其中正确的命题的序号是：
①③
①③
．
关于函数f(x)=lg
x2+1|x|
(x≠0，x∈R)有下列命题：
①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
②在区间（-∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；
③函数f（x）的最小值为lg2；
④在区间（1，∞）上，函数f（x）是增函数．
其中正确命题序号为
①③④
①③④
．
已知下列命题：
①函数y=sin(-2x+
π
3
)的单调增区间是[-kπ-
π
12
，-kπ+
5π
12
](k∈Z)．
②要得到函数y=cos(x-
π
6
)的图象，需把函数y=sinx的图象上所有点向左平行移动
π
3
个单位长度．
③已知函数f（x）=2cos2x-2acosx+3，当a≤-2时，函数f（x）的最小值为g（a）=5+2a．
④y=sinwx（w＞0）在[0，1]上至少出现了100次最小值，则w≥
399
2
π．
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．
给出下列命题：
①函数y=f（x-2）与函数y=f（2-x）的图象关于x=2对称；
②函数y=f（x）导函数为y=f′（x），若f′（x0）=0，则f（x0）必为函数y=f（x）的极值；
③函数y=sinx在一象限单调递增；
④y=tanx在其定义域内为单调增函数．
其中正确的命题序号为
①
①
．
关于函数f（x）=sin2x-cos2x有下列命题：
①函数y=f（x）的周期为π；                
②直线x=
π
4
是y=f（x）图象的一条对称轴；
③点(
π
8
，0)是y=f（x）图象的一个对称中心；
④(-
π
8
，
3π
8
)是函数y=f（x）的一个单调递减区间．
其中真命题的序号是
①③
①③
．

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