Question

5．已知数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，满足a₃=8，a₃-a₂-2a₁=0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）记b_n=log₂a_n，求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，通过a₃-a₂-2a₁=0，可得q=2，利用a₃=8可得a₁=2，进而可得结论；
（Ⅱ）通过b_n=$lo{g}_{2}{2}^{n}$=n，可得a_nb_n=n•2ⁿ，分别写出S_n、与2S_n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，
由a_n＞0可得q＞0，且a₃-a₂-2a₁=0，
化简得q²-q-2=0，
解得q=2或q=-1（舍），
∵a₃=a₁•q²=4a₁=8，∴a₁=2，
∴数列{a_n}是以首项和公比均为2的等比数列，
∴a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（I）知b_n=log₂a_n=$lo{g}_{2}{2}^{n}$=n，
∴a_nb_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-2）×2^n-1+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
两式相减，得-S_n=2¹+2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．