Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为等腰直角三角形，AC⊥BC，点D是AB的中点，侧面BB₁C₁C是正方形．

(1) 求证AC⊥B₁C；(2)求二面角B-CD-B₁平面角的正切值．

Answer 1

（1）要证明线线垂直，要通过线面垂直的性质定理来求解，主要是得到AC⊥平面BCC₁B_1。
（2）

试题分析：证明：(1)在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥AC，
又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
所以，AC⊥平面BCC₁B₁，
所以，AC⊥B₁C．                          3分
(2)∵△ABC是等腰直角三角形，D为AB中点，
∴CD⊥AB
∵平面ABC⊥平面AA₁B₁B，平面ABC∩平面AA₁B₁B=AB，
∴CD ⊥平面AA₁B₁B，
∵B₁D平面AA₁B₁B，BD平面AA₁B₁B，
∴CD⊥B₁D，CD⊥BD，
∴∠B₁DB是二面角B-CD-B₁平面角，         6分
不妨设正方形BB₁C₁C的棱长为2a，则：
在RT△B₁DB中，BD=a，BB₁=2a，∠B₁BD=90º
∴tan∠B₁DB==.
∴所求二面角B-CD-B₁平面角的正切值为.          8分
点评：考查了线线垂直和二面角的平面角的求解，属于基础题。