题目内容
【题目】设函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数
的值;
(3)若方程,有两个不相等的实数根
,比较
与0的大小.
【答案】(1) 单调增区间为,单调减区间为
. (2)
,(3)详见解析
【解析】试题分析: (1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去
,对
进行讨论,
时,
,单调增区间为
.
时,有增有减;(2) 函数
有两个零点,所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:
,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得
的取值范围,进而确定整数值,(3)根据
,所以只需判定
大小,由
可解得
,代入分析只需比较
大小, 设
,构造函数
,利用导数可得最值,即可判定大小.
试题解析:(1)解:
.
当时,
,函数
在
上单调递增,函数
的单调增区间为
.
当时,由
,得
;由
,得
.
所以函数的单调增区间为
,单调减区间为
.
(2)解:由(1)得,若函数有两个零点
则,且
的最小值
,即
.
因为,所以
.令
,显然
在
上为增函数,
且,
,所以存在
,
.
当时,
;当
时,
.所以满足条件的最小正整数
(3)证明:因为是方程
的两个不等实根,由(1)知
.
不妨设,则
,
.
两式相减得,
即.
所以.因为
,
当时,
, 当x∈
时,
,
故只要证即可,即证明
,
即证明,
即证明.设
.
令,则
.
因为,所以
,当且仅当t=1时,
,所以
在
上是增函数.
又,所以当
时,
总成立.所以原题得证
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】(本小题12分)根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:
]
组别 | PM2.5浓度(微克/立方米) | 频数(天) | 频率 |
第一组 | 3 | 0.15 | |
第二组 | 12 | 0.6 | |
第三组 | 3 | 0.15 | |
第四组 | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;
(Ⅱ)求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由.
【题目】随着移动互联网时代的到来,手机的使用非常普遍,“低头族”随处可见。某校为了解家长和教师对学生带手机进校园的态度,随机调查了100位家长和教师,得到情况如下表:
教师 | 家长 | |
反对 | 40 | 20 |
支持 | 20 | 20 |
(1)是否有95%以上的把握认为“带手机进校园与身份有关”,并说明理由;
(2)把以上频率当概率,随机抽取3位教师,记其中反对学生带手机进校园的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
附:
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |