题目内容
【题目】如图所示，以2为半径的半圆弧
所在平面垂直于矩形
所在平面，
是圆弧上异于
、
的点.
（1）证明：平面
平面
；
（2）当四棱锥
的体积最大为8时，求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
（1）由平面
平面
，可得
平面
，得
，又
，从而得到
平面
利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（2）由题意可知
在圆弧的中点上且
在
、
上取中点
、
，以点O为原点，OE,OB,OS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求平面SAD和平面SCD的法向量，然后利用向量的夹角公式进行运算即可.
（1）由已知，平面平面，交线为，
且
，
平面
所以平面，故
是圆弧上异于
、
的点，且为直径，所以
又
，所以平面
又
平面
，所以平面
平面
（2）显然当四棱锥
的体积最大时，在圆弧的中点上，
，所以
分别在、上取中点、，则可得
、
、
三者两两垂直，
分别为
、
、
轴建立如图所示空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
因为平面，可取
是平面的一个法向量
设
是平面
的法向量
所以
，
取
，可得
，
，
设平面与平面所成的锐二面角大小为
则
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