题目内容
【题目】如图所示,以2为半径的半圆弧所在平面垂直于矩形
所在平面,
是圆弧
上异于
、
的点.
(1)证明:平面平面
;
(2)当四棱锥的体积最大为8时,求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)由平面平面
,可得
平面
,得
,又
,从而得到
平面
利用面面垂直的判定定理即可得到证明;(2)由题意可知
在圆弧的中点上且
在
、
上取中点
、
,以点O为原点,OE,OB,OS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求平面SAD和平面SCD的法向量,然后利用向量的夹角公式进行运算即可.
(1)由已知,平面平面
,交线为
,
且,
平面
所以平面
,故
是圆弧上异于
、
的点,且
为直径,所以
又,所以
平面
又平面
,所以平面
平面
(2)显然当四棱锥的体积最大时,
在圆弧的中点上,
,所以
分别在、
上取中点
、
,则可得
、
、
三者两两垂直,
分别为、
、
轴建立如图所示空间直角坐标系.
则,
,
,
,
,
因为平面
,可取
是平面
的一个法向量
设是平面
的法向量
所以,
取,可得
,
,
设平面与平面
所成的锐二面角大小为
则
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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