题目内容

如图，已知椭圆 $数学公式$ =1（a＞b＞0），F₁、F₂分别为椭
圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF₂交椭圆于另一
点B、
（1）若∠F₁AB=90°，求椭圆的离心率；
（2）若 $数学公式$ =2 $数学公式$ ， $数学公式$ • $数学公式$ = $数学公式$ ，求椭圆的方程．

解：（1）若∠F₁AB=90°，则△AOF₂为等腰直角三角形，所以有OA=OF₂，即b=C、
所以a= $\text{[math]}$ c，e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）由题知A（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），
其中，c= $\text{[math]}$ ，设B（x，y）．
由 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ?（c，-b）=2（x-c，y），解得x= $\text{[math]}$ ，
y=- $\text{[math]}$ ，即B（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
将B点坐标代入 $\text{[math]}$ =1，得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，
即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，
解得a²=3c²．①
又由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（-c，-b）•（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
?b²-c²=1，
即有a²-2c²=1．②
由①，②解得c²=1，a²=3，从而有b²=2．
所以椭圆方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1．
分析：（1）根据∠F₁AB=90°推断出△AOF₂为等腰直角三角形，进而可知OA=OF₂，求得b和c的关系，进而可求得a和c的关系，即椭圆的离心率．
（2）根据题意可推断出A，和两个焦点的坐标，设出B的坐标，利用已知条件中向量的关系，求得x和y关于c的表达式，代入椭圆方程求得a和c的关系，利用 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 求得a和c的关系，最后联立求得a和b，则椭圆方程可得．
点评：本题主要考查了椭圆的应用和椭圆的简单性质，向量的基本性质．注意挖掘题意中隐含的条件，充分利用．