Question

3．已知f（x）=$\frac{cos2x}{\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}+x）•sinx}$
（1）若tanx=-$\frac{4}{3}$，求f（x）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b+c=2，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式分子利用二倍角的余弦函数公式及平方差公式化简，分母利用两角和与差的余弦函数公式化简，约分后利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanx的值代入计算即可求出值；
（2）由f（A）=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出tanA的值，确定出A的度数，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式即可求出a的最小值．

解答 解：（1）∵tanx=-$\frac{4}{3}$，
∴f（x）=$\frac{cos2x}{sinx（cosx-sinx）}$=$\frac{（cosx+sinx）（cosx-sinx）}{sinx（cosx-sinx）}$=$\frac{cosx+sinx}{sinx}$=$\frac{1+tanx}{tanx}$=$\frac{1-\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}}$=$\frac{1}{4}$；
（2）∵f（A）=$\frac{1+tanA}{tanA}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∵A为△ABC内角，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵b+c=2，bc≤$\frac{（b+c）^{2}}{4}$，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3×$\frac{（b+c）^{2}}{4}$=1，
则a的最小值为1．

点评 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．