选修4-2:矩阵与变换已知α=.2 1 .为矩阵A=.1a-14.属于λ的一个特征向量.求实数a.λ的值及A2．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

选修4-2：矩阵与变换
已知α=

2
1

为矩阵A=

1	a
-1	4

属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A²．

分析：根据特征向量，可得

1	a
-1	4

2
1

=λ

2
1

，从而得出a和λ的值，即可得出矩阵A．最后利用矩阵的乘法，可求出A²．

解答：解：根据题意得

1	a
-1	4

2
1

=λ

2
1

，
∴

2+a=2λ

-2+4=λ

，
∴

a=2

λ=2

，
∴A=

1	2
-1	4

，
A²=

1	a
-1	4

1	a
-1	4

-1	10
-5	14

．

点评：本题给出含有字母参数的矩阵，在知其一个特征向量的情况下求特征值，考查了特征值与特征向量的计算的知识，属于基础题．

练习册系列答案

．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x²+y²=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程为

(t为参数）
（I）若将曲线C₁与C₂上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′₁和C′₂，求出曲线C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′₂垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=

f(x)+m

的定义域为R，求实数m的取值范围．

本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
（1）选修4-2：矩阵与变换
变换T是将平面上每个点M（x，y）的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点M′（2x，4y）．
（Ⅰ）求变换T的矩阵；
（Ⅱ）圆C：x²+y²=1在变换T的作用下变成了什么图形？
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C₁的极坐标方程为：5ρ²-3ρ²cos2θ-8=0，直线?的参数方程为：

x=1-

y=t

（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线?上有一定点P（1，0），曲线C₁与?交于M，N两点，求|PM|．|PN|的值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a²+

本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

变换是将平面上每个点的横坐标乘，纵坐标乘，变到点.

（Ⅰ）求变换的矩阵；

（Ⅱ）圆在变换的作用下变成了什么图形？

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程为：（为参数）.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线上有一定点，曲线与交于M，N两点，求的值．

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知为实数，且

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求实数m的取值范围．

（1）选修4-2：矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它们所对应的特征向量分别为

．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x²+y²=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程为

为参数），C₂的参数方程为

为参数）
（I）若将曲线C₁与C₂上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′₁和C′₂，求出曲线C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′₂垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若