Question

1、已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长均为1，对于下列结论：
（1）BD₁⊥平面A₁DC₁；
（2）A₁C₁和AD₁所成角为45°；
（3）点A和点C₁在该正方体外接球表面上的球面距离为

3

2

π；
（4）E到平面ABC₁的距离为

1

2

（E为A₁B₁中点）
其中正确的结论个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：（1）中根据线面垂直的判定定理可判，（2）中可由异面直线所成的角的定义进行判断；而（3）中由球面距离的求解即可得出答案；（4）E到平面ABC₁的距离转化为B₁到平面ABC₁的距离求解即得．

解答：解：（1）中，由线面垂直的性质定理可知BD₁⊥A₁D，BD₁⊥A₁C₁，从而根据线面垂直的判定定理得到BD₁⊥平面A₁DC₁，故正确；
（2）中因为A₁C₁和AD₁所成角等于AC和AD₁所成角，为∠CAD₁=60°，知不正确；
（3）中点A和点C₁在该正方体外接球表面上是球的一条直径的两个端点，它们的球面距离是球的大圆周长的一半，球的半径为R=

3

2

，它们的球面距离为

3

2

π，故正确；
（4）中E到平面ABC₁的距离B₁到平面ABC₁的距离，为正方形BCC₁B₁对角线长的一半，即

2

2

，故错．
其中正确的结论个数是2．
故选C．

点评：本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．