题目内容

已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且在点Pn(n,Sn)处的切线的斜率为kn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=2knan,求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)an=2n+1(2)Tn·4n+2
(1)∵点Pn(n,Sn)在函数f(x)=x2+2x的图象上,
∴Sn=n2+2n(n∈N*),当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1,当n=1时,a1=S1=3满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=2n+1.
(2)由f(x)=x2+2x,求导得f′(x)=2x+2.
∵在点Pn(n,Sn)处的切线的斜率为kn
∴kn=2n+2,∴bn=2knan=4·(2n+1)·4n
∴Tn=4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4×(2n+1)×4n,用错位相减法可求得Tn·4n+2.
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