Question

【题目】某班级共派出个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有种选法.（1）试求和； （2）判断和的大小（），并用数学归纳法证明.

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析.

【解析】分析：(1)根据队里男生甲必须排第一个，然后女生整体排在男生的前面，排成一路纵队入场，可得，根据从男生和女生中各选一名代表到主席台服务，可得；

(2)根据，猜想，再用数学归纳法证明，第二步的证明利用分析法证明.

详解：（1），.

（2）因为，所以，，

，由此猜想：当时，都有，即.

下面用数学归纳法证明（）.

①时，该不等式显然成立.

②假设当时，不等式成立，即，.

则当时，，

要证当时不等式成立.只要证：，

只要证：..

令，因为，所以在上单调递减，

从而，而，所以成立.

则当时，不等式也成立.

综合①、②得原不等式对任意的均成立.