Question

10．数列{a_n}满足a_n+1=a_n+$\frac{8（n+1）}{（2n+1）^{2}（2n+3）^{2}}$，a₁=$\frac{8}{9}$，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由数列递推式得到a_n+1-a_n=$\frac{8（n+1）}{（2n+1）^{2}（2n+3）^{2}}$，然后利用裂项相消法求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：∵a_n+1=a_n+$\frac{8（n+1）}{（2n+1）^{2}（2n+3）^{2}}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{（2n+1）^{2}}-\frac{1}{（2n+3）^{2}}$，
则当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）
=$\frac{1}{（2n-1）^{2}}-\frac{1}{（2n+1）^{2}}+\frac{1}{（2n-3）^{2}}-\frac{1}{（2n-1）^{2}}+…+$$\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{5}^{2}}$
=$\frac{1}{9}-\frac{1}{（2n+1）^{2}}=\frac{4{n}^{2}+4n-8}{9（2n+1）^{2}}$．
验证当n=1时，上式不成立．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{8}{9}，n=1}\\{\frac{4{n}^{2}+4n-8}{9（2n+1）^{2}}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．