Question

【题目】已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA来确定是否感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止．方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．
（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率．
（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？

Answer 1

【答案】
（1）解：方案乙中所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况：

第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个样品进行化验，

则恰含有病毒的概率为 × = ．

第二种，先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验，

恰第一个样品含有病毒的概率为 × = ．

∴依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为 =

（2）解：设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，3，4，5，对应的化验费为η元，

P（ξ=1）=P（η=10）= ，

P（ξ=2）=P（η=18）= × = ，

P（ξ=3）=P（η=24）= × = ，

P（ξ=4）=P（η=30）= = ，

P（ξ=5）=P（η=36）= = ，

∴方案甲所需化验费用η的分布列为：

η	10	18	24	30	36
P

用方案甲平均需要化验费E（η）= + +24× +30× +36× = （元）

【解析】（1）方案乙中所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个样品进行化验，可得恰含有病毒的概率为 × ．第二种，先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为 × ．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．（2）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，3，4，5，对应的化验费为η元，利用相互独立事件的概率计算公式可得：P（ξ=1）=P（η=10），P（ξ=2）=P（η=18），P（ξ=3）=P（η=24），P（ξ=4）=P（η=30），P（ξ=5）=P（η=36）．