Question

已知函数在点处的切线方程为
(1)求函数的解析式；
(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值都有求实数c的最小值．

Answer 1

(1) f(x)＝x³－3x.  (2) c的最小值为4.

解析试题分析：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx－3.
根据题意，得
即 解得
所以f(x)＝x³－3x. 
(2)令f′(x)＝0，即3x²－3＝0，得x＝±1.

x	－2	(－2，－1)	－1	(－1,1)	1	(1,2)	2
f′(x)		＋		－		＋
f(x)	－2	?	极大值	?	极小值	?	2

因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，
所以当x∈[－2,2]时，f(x)_max＝2，f(x)_min＝－2.
（ 需列表格或者说明单调性，否则扣2分）
则对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤|f(x)_max－f(x)_min|＝4，
所以c≥4.即c的最小值为4.
考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值，待定系数法。
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，首先利用待定系数法，求得函数解析式，为进一步解题奠定了基础。利用“表解法”写出函数单调性、极值，直观明了。