题目内容
已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若n∈N*,证明:(
1 |
n |
2 |
n |
n-1 |
n |
n |
n |
e |
e-1 |
分析:(1)求出f'(x)=ex-1,当x>0时,f'(x)>0,当x<0时,f'(x)<0,故当x=0时,f(x)有最小值1.
(2) 令x=-
,则∴(1-
)n≤(e-
)n=e-k(k=1,2,,n-1),得到
(
)n+(
)n+…+(
)n+(
)n≤e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1,利用等比数列求和公式和放缩法,可证明 e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1=
<
=
.
(2) 令x=-
k |
n |
k |
n |
k |
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(
1 |
n |
2 |
n |
n-1 |
n |
n |
n |
1-e-n |
1-e-1 |
1 |
1-e-1 |
e |
e-1 |
解答:解:(1)∵f(x)=ex-x,∴f'(x)=ex-1,令f'(x)=0,得x=0.
∴当x>0时,f'(x)>0,当x<0时,f'(x)<0.∴函数f(x)=ex-x在区间(-∞,0)上单调递减,
在区间(0,+∞)上单调递增.∴当x=0时,f(x)有最小值1.
(2)证明:由(1)知,对任意实数x均有ex-x≥1,即1+x≤ex.令x=-
(n∈N*,k=1,2,,n-1),
则 0<1-
≤e-
,∴(1-
)n≤(e-
)n=e-k(k=1,2,,n-1).
即(
)n≤e-k(k=1,2,,n-1).∵(
)n=1,
∴(
)n+(
)n+…+(
)n+(
)n≤e-(n-1)+e-(n-2)+… .+e-2+e-1+1.
∵e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1=
<
=
,
∴(
)n+(
)n+…+(
)n+(
)n<
.
∴当x>0时,f'(x)>0,当x<0时,f'(x)<0.∴函数f(x)=ex-x在区间(-∞,0)上单调递减,
在区间(0,+∞)上单调递增.∴当x=0时,f(x)有最小值1.
(2)证明:由(1)知,对任意实数x均有ex-x≥1,即1+x≤ex.令x=-
k |
n |
则 0<1-
k |
n |
k |
n |
k |
n |
k |
n |
即(
n-k |
n |
n |
n |
∴(
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n |
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n-1 |
n |
n |
n |
∵e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1=
1-e-n |
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1 |
1-e-1 |
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e-1 |
∴(
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n-1 |
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n |
n |
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e-1 |
点评:本题考查利用导数求函数的最值,等比数列求和公式,用放缩法证明不等式,得到
(
)n+(
)n+…+(
)n+(
)n≤e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1是解题的关键和难点.
(
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n-1 |
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