题目内容

已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若n∈N*,证明:(
1
n
)n+(
2
n
)n+…+(
n-1
n
)n+(
n
n
)n
e
e-1
分析:(1)求出f'(x)=ex-1,当x>0时,f'(x)>0,当x<0时,f'(x)<0,故当x=0时,f(x)有最小值1.
(2) 令x=-
k
n
,则∴(1-
k
n
)n≤(e
k
n
)n=e-k(k=1,2,,n-1)
,得到
(
1
n
)
n
+(
2
n
)
n
+…+(
n-1
n
)
n
+(
n
n
)
n
e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1
,利用等比数列求和公式和放缩法,可证明 e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1=
1-e-n
1-e-1
1
1-e-1
=
e
e-1
解答:解:(1)∵f(x)=ex-x,∴f'(x)=ex-1,令f'(x)=0,得x=0.
∴当x>0时,f'(x)>0,当x<0时,f'(x)<0.∴函数f(x)=ex-x在区间(-∞,0)上单调递减,
在区间(0,+∞)上单调递增.∴当x=0时,f(x)有最小值1.
(2)证明:由(1)知,对任意实数x均有ex-x≥1,即1+x≤ex.令x=-
k
n
(n∈N*,k=1,2,,n-1),
0<1-
k
n
e-
k
n
,∴(1-
k
n
)n≤(e
k
n
)n=e-k(k=1,2,,n-1)

(
n-k
n
)ne-k(k=1,2,,n-1)
.∵(
n
n
)n=1

(
1
n
)
n
+(
2
n
)
n
+…+(
n-1
n
)
n
+(
n
n
)
n
e-(n-1)+e-(n-2)+… .+e-2+e-1+1

e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1=
1-e-n
1-e-1
1
1-e-1
=
e
e-1

(
1
n
)
n
+(
2
n
)
n
+…+(
n-1
n
)
n
+(
n
n
)
n
e
e-1
点评:本题考查利用导数求函数的最值,等比数列求和公式,用放缩法证明不等式,得到
(
1
n
)
n
+(
2
n
)
n
+…+(
n-1
n
)
n
+(
n
n
)
n
e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1
是解题的关键和难点.
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