题目内容

(本小题满分13分)已知数列.如果数列满足,其中,则称的“衍生数列”.
(Ⅰ)若数列的“衍生数列”是,求
(Ⅱ)若为偶数,且的“衍生数列”是,证明:的“衍生数列”是
(Ⅲ)若为奇数,且的“衍生数列”是的“衍生数列”是,….依次将数列,…的第项取出,构成数列.证明:是等差数列.
(Ⅰ)解:.                 ………………3分
(Ⅱ)证法一:
证明:由已知,.
因此,猜想.                         ………………4分
① 当时,,猜想成立;
② 假设时,.
时,



故当时猜想也成立.
由 ①、② 可知,对于任意正整数,有. ………………7分
设数列的“衍生数列”为,则由以上结论可知
,其中.
由于为偶数,所以
所以 ,其中.
因此,数列即是数列.                                ………………9分
证法二:
因为


……

由于为偶数,将上述个等式中的第个式子都乘以,相加得
     即.                                    ………………7分
由于
根据“衍生数列”的定义知,数列的“衍生数列”.    ………………9分
(Ⅲ)证法一:
证明:设数列,,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列,只需证明成等差数列,即只要证明即可.  ……10分
由(Ⅱ)中结论可知





所以,,即成等差数列,
所以是等差数列.                                       ………………13分
证法二:
因为
所以 .
所以欲证成等差数列,只需证明成等差数列即可.       ………………10分
对于数列及其“衍生数列”
因为


……

由于为奇数,将上述个等式中的第个式子都乘以
相加得
     即.
设数列的“衍生数列”为
因为
所以 , 即成等差数列.                                   
同理可证,也成等差数列.
是等差数列.
所以 成等差数列.                                     ………………13分
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