题目内容
(本小题满分13分)已知数列.如果数列满足,,其中,则称为的“衍生数列”.
(Ⅰ)若数列的“衍生数列”是,求;
(Ⅱ)若为偶数,且的“衍生数列”是,证明:的“衍生数列”是;
(Ⅲ)若为奇数,且的“衍生数列”是,的“衍生数列”是,….依次将数列,,,…的第项取出,构成数列.证明:是等差数列.
(Ⅰ)若数列的“衍生数列”是,求;
(Ⅱ)若为偶数,且的“衍生数列”是,证明:的“衍生数列”是;
(Ⅲ)若为奇数,且的“衍生数列”是,的“衍生数列”是,….依次将数列,,,…的第项取出,构成数列.证明:是等差数列.
(Ⅰ)解:. ………………3分
(Ⅱ)证法一:
证明:由已知,,.
因此,猜想. ………………4分
① 当时,,猜想成立;
② 假设时,.
当时,
故当时猜想也成立.
由 ①、② 可知,对于任意正整数,有. ………………7分
设数列的“衍生数列”为,则由以上结论可知
,其中.
由于为偶数,所以,
所以 ,其中.
因此,数列即是数列. ………………9分
证法二:
因为 ,
,
,
……
,
由于为偶数,将上述个等式中的第这个式子都乘以,相加得
即,. ………………7分
由于,,
根据“衍生数列”的定义知,数列是的“衍生数列”. ………………9分
(Ⅲ)证法一:
证明:设数列,,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列,只需证明成等差数列,即只要证明即可. ……10分
由(Ⅱ)中结论可知 ,
,
所以,,即成等差数列,
所以是等差数列. ………………13分
证法二:
因为 ,
所以 .
所以欲证成等差数列,只需证明成等差数列即可. ………………10分
对于数列及其“衍生数列”,
因为 ,
,
,
……
,
由于为奇数,将上述个等式中的第这个式子都乘以,
相加得
即.
设数列的“衍生数列”为,
因为 ,,
所以 , 即成等差数列.
同理可证,也成等差数列.
即 是等差数列.
所以 成等差数列. ………………13分
(Ⅱ)证法一:
证明:由已知,,.
因此,猜想. ………………4分
① 当时,,猜想成立;
② 假设时,.
当时,
故当时猜想也成立.
由 ①、② 可知,对于任意正整数,有. ………………7分
设数列的“衍生数列”为,则由以上结论可知
,其中.
由于为偶数,所以,
所以 ,其中.
因此,数列即是数列. ………………9分
证法二:
因为 ,
,
,
……
,
由于为偶数,将上述个等式中的第这个式子都乘以,相加得
即,. ………………7分
由于,,
根据“衍生数列”的定义知,数列是的“衍生数列”. ………………9分
(Ⅲ)证法一:
证明:设数列,,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列,只需证明成等差数列,即只要证明即可. ……10分
由(Ⅱ)中结论可知 ,
,
所以,,即成等差数列,
所以是等差数列. ………………13分
证法二:
因为 ,
所以 .
所以欲证成等差数列,只需证明成等差数列即可. ………………10分
对于数列及其“衍生数列”,
因为 ,
,
,
……
,
由于为奇数,将上述个等式中的第这个式子都乘以,
相加得
即.
设数列的“衍生数列”为,
因为 ,,
所以 , 即成等差数列.
同理可证,也成等差数列.
即 是等差数列.
所以 成等差数列. ………………13分
略
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