Question

9．函数y=1+log_ax（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-2=0上，其中mn＞0，则$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$的最小
值为（　　）

• A． 2+$\sqrt{3}$
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出定点A的坐标，代入直线方程，得到m．n的关系，利用基本不等式求解最小值即可．

解答 解：函数y=1+log_ax（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），若点A在直线mx+ny-2=0上，
可得m+n=2，
$\frac{1}{m}+\frac{3}{n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{m}+\frac{3}{n}）（m+n）$=$\frac{1}{2}$$（1+3+\frac{n}{m}+\frac{3m}{n}）$=$2+\frac{n}{2m}+\frac{3m}{2n}$≥2+2$\sqrt{\frac{n}{2m}•\frac{3m}{2n}}$=2+$\sqrt{3}$．
当且仅当m=$\sqrt{3}-1$，n=$3-\sqrt{3}$时取等号．
表达式的最小值为：2+$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查指数函数的单调性与特殊点的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．