Question

如图，斜率为1的直线过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点，与抛物线交于两点A,B，M为抛物线弧AB上的动点．

（1）若｜AB｜＝8，求抛物线的方程；
（2）求的最大值

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程及性质、点到直线的距离、两点间距离公式、韦达定理等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力，考查数形结合思想.第一问，由已知条件得到直线AB的方程与抛物线联立，消参得到关于x的方程，求出两根之和，由抛物线的定义得|AB|的值，从而求出P的值；第二问，直线与抛物线联立消去x，解出y，设出M点坐标，则可得到的取值范围，利用点到直线的距离公式列出距离，由于点在直线上方，所以，再化简距离的表达式，通过配方求最值，从而得到M点坐标，即可得到的面积.
试题解析：(1)由条件知l_AB：，则，消去y得，则x₁＋x₂＝3p，由抛物线定义得|AB|＝x₁＋x₂＋p＝4p.
又因为|AB|＝8，即p＝2，则抛物线的方程为.(5分)
(2)由(1)知|AB|＝4p，且l_AB：，
，消x得：，即，
设，则，
M到AB的距离，因为点M在直线AB的上方，所以，
所以，
当时，.
则.(12分)