Question

已知定义在R上奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），f（1）≠1；且当x∈[1，2]时，函数g(x)=

f(x)

x

的值域为[-2，1]．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性（不需写出推理过程），并写出f（x）在其定义域上的单调区间；
（3）讨论关于x的方程f（x）-t=0（t∈R）的根的个数．

Answer 1

分析：（1）由定义在R上奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），可得 b=d=0，函数 g（x）=ax²+c，当a＞0时，g（x）在[1，2]上是增函数，再根据它的值域为[-2，1]，
可得 a+c=-2，4a+c=1，解得 a=1，c=-3，从而得到f（x）的解析式．当a＜0时，g（x）=ax²+c 在[1，2]上是减函数，可得a+c=1，不满足f（1）≠1，故舍去．
（2）根据函数f（x）=x³ -3，可得在[1，+∞）是增函数．令它的导数为f′（x）=3x²＞0，可得x的范围，即可得到增区间，此函数无减区间．
（3）关于x的方程f（x）-t=0的根的个数，即函数y=f（x）与函数y=t 的交点的个数．结合图象，可得结论．

解答：解：（1）由定义在R上奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），可得 b=d=0，故f（x）=ax³ +cx．
再由f（1）≠1可得a+c≠1．
当x∈[1，2]时，函数g(x)=

f(x)

x

=ax²+c，当a＞0时，g（x）在[1，2]上是增函数，再根据它的值域为[-2，1]，
可得 a+c=-2，4a+c=1，解得 a=1，c=-3，故f（x）=x³ -3．
当a＜0时，g（x）=ax²+c 在[1，2]上是减函数，可得a+c=1，不满足a+c≠1，故舍去．
综上可得，f（x）=x³ -3．
（2）根据函数f（x）=x³ -3，可得在[1，+∞）是增函数．
令它的导数为f′（x）=3x²＞0，可得x＞0，或 x＜0，故函数的增区间为（-∞，0）、（0，+∞），即此函数的增区间为（-∞，+∞），此函数无减区间．
（3）关于x的方程f（x）-t=0的根的个数，即函数y=f（x）与函数y=t 的交点的个数．
结合图象可得，函数y=f（x）与函数y=t 的交点的个数为1．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，求函数的解析式和单调区间，函数的奇偶性的应用，体现了化归与转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．