Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最小值；

（Ⅱ）当时，求证：过点恰有2条直线与曲线相切．

Answer 1

【答案】（I）.（Ⅱ）见解析.

【解析】

（I）对f（x）求导，判断f′（x）的符号得出f（x）的单调性，根据单调性得出f（x）的最小值；（II）设过P的切线的切点为（x0，y0），根据导数的几何意义列出方程组，得出关于x0的方程，利用函数单调性证明此方程恰好有两解即可．

（Ⅰ）当a＝3时，f（x）＝x3﹣3x2，f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）．

当x∈[0，2]时，f'（x）≤0，

所以f（x）在区间[0，2]上单调递减．

所以f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（2）＝﹣4．

（Ⅱ）设过点P（1，f（1））的曲线y＝f（x）的切线切点为（x0，y0），f'（x）＝3x2﹣2ax，f（1）＝1﹣a，

所以

所以．

令g（x）＝2x3﹣（a+3）x2+2ax+1﹣a，

则g'（x）＝6x2﹣2（a+3）x+2a＝（x﹣1）（6x﹣2a），

令g'（x）＝0得x＝1或，

因为a＞3，所以．

x	（﹣∞，1）	1
g′（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴g（x）的极大值为g（1）＝0，g（x）的极小值为，

所以g（x）在上有且只有一个零点x＝1．

因为g（a）＝2a3﹣（a+3）a2+2a2+1﹣a＝（a﹣1）2（a+1）＞0，

所以g（x）在上有且只有一个零点．

所以g（x）在R上有且只有两个零点．

即方程有且只有两个不相等实根，

所以过点P（1，f（1））恰有2条直线与曲线y＝f（x）相切．