题目内容
已知函数f(x)=3ax-2x2+lnx,a为常数.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.
分析:(1)先求函数的导函数f′(x),并将其因式分解,便于解不等式,再由f′(x)>0,得函数的单调增区间,由f′(x)<0,得函数的单调减区间
(2)先求函数的导函数f′(x),将函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数问题转化为则f′(x)≥0,或f′(x)≤0在区间[1,2]上恒成立问题,进而将不等式参变分离,转化为求函数最值问题即可
解答:解:(1)当a=1时,f(x)=3x-2x
2+lnx,则f(x)的定义域是(0,+∞)
∵
f′(x)=3-4x+==.
∴由f′(x)>0,得0<x<1;由f′(x)<0,得x>1;
∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.
(2)∵
f′(x)=3a-4x+.
若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,
则f′(x)≥0,或f′(x)≤0在区间[1,2]上恒成立.
∴
3a-4x+≥0,或
3a-4x+≤0在区间[1,2]上恒成立.
即
3a≥4x-,或
3a≤4x-在区间[1,2]上恒成立.
设h(x)=
4x-,
∵h′(x)=4+
>0
∴h(x)=
4x-在区间[1,2]上是增函数.
h(x)
max=h(2)=
,h(x)
min=h(1)=3
∴只需3a≥
,或3a≤3.
∴a≥
,或a≤1.
点评:本题考查了利用导数求函数的单调区间的方法,已知函数的单调区间求参数范围的方法,体现了导数在函数单调性中的重要应用;不等式恒成立问题的解法,转化化归的思想方法
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