题目内容

已知A（3，0），B（0，3）C（cosα，sinα），O为原点．
（1）若
OC
∥
AB
，求tanα的值；
（2）若
AC
⊥
BC
，求sin2α的值．
（3）若|
OA
+
OC
|=
13
且α∈(0，π)，求
OB
与
OC
的夹角．
分析：（1）根据条件求出向量
OC
和
AB
的坐标，利用向量共线的坐标表示以及商的关系，，求出tanα的值；
（2）根据条件求出向量
AC
和
BC
的坐标，利用
a
•
b
=x1x2+y1y2=0列出方程，再由倍角的正弦公式和平方关系求出sin2α的值；
（3）求出对应向量的坐标，再由|
OA
+
OC
|=
13
求出α的值，利用向量的数量积运算求出所求向量夹角的余弦值，根据夹角的范围求出角的度数．
解答：解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
∴
OC
=（cosα，sinα），
AB
=（-3，3），
∵
OC
∥
AB
，∴3cosα+3sinα=0，解得tanα=-1
（2）由题意得，
AC
=（coaα-3，sinα），
BC
=（coaα，sinα-3），
∵
AC
⊥
BC
，∴coaα（coaα-3）+sinα（sinα-3）=0，
1-3（sinα+coaα）=0，即sinα+coaα=
1
3
，
两边平方后得，sin2α=-
8
9
，
（3）由题意得，
OA
=（3，0），
OC
=（cosα，sinα），
∴
OA
+
OC
=（coaα+3，sinα），由|
OA
+
OC
|=
13
得，
（cosα+3）2+sin2α=13，即cosα=
1
2
，则α=
π
3
，
∴cos＜
OB
，
OC
＞=
OB
•
OC
|
OB
||
OC
|
=
3sinα
3
=
3
2
，
则所求的向量的夹角是
π
6
．
点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，两个向量共线的性质，主要利用两个向量坐标形式进行运算求解，注意向量夹角的范围．
练习册系列答案
相关题目
已知A（-3，0），B（0，
3
）O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设
OC
=λ
OA
+
OB
（λ∈R），则λ等于（　　）
A、
3
3
B、
3
C、
1
3
D、3
已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；
(1)若
AC
•
BC
=-1，求sin(α+
π
4
)的值；(2)O为坐标原点，若|
OA
-
OC
|=
13
，且α∈(0，π)，求
OB
与
OC
的夹角．
已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为
3
5
，焦点坐标分别为F1（-2，0），F2（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知A（-3，0），B（3，0），P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，求
OM
•
ON
的值．
已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O为原点．
（1）若
AC
⊥
BC
，求sin2α的值；
（2）若丨
OC
+
OA
丨=
13
，α∈（0，π），求
OB
与
OC
的夹角．
已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
（1）若|
OA
+
OC
|=
13
，且α∈（0，π），求
OB
与
OC
夹角的大小；
（2）若(
OA
+2
OB
)⊥
OC
，求cos2α．

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