Question

如图，五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC是正三角形，AB=2．四边形BCC₁B₁是矩形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁
（I）求这个几何体的体积；
（Ⅱ）D在AC上运动，问：当D在何处时，有AB₁∥平面BDC₁，请说明理由；
（III）求二面角B₁-AC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中平面ABC⊥平面BCC₁B₁，我们易得五面体A-BCC₁B₁（四棱锥）的底面为BCC₁B₁，高是正三角形ABC的高，分别求出棱锥的底面面积和高，代入即可得到这个几何体的体积；
（Ⅱ）当D为AC中点时，连接B₁C交BC₁于O，连接DO，易根据三角形的中位线定理，证得DO∥AB₁，进而根据线面平行的判定定理得到AB₁∥平面BDC₁．
（III）建立空间直角坐标系B-xyz如图所示，分别求出平面B₁AC₁与AC₁C的一个法向量的坐标，代入向量夹角公式，即可求出二面角B₁-AC₁-C的余弦值．

解答：解：（I）显然这个五面体是四棱锥A-BCC₁B₁，
因为侧面BCC₁B₁垂直于底面ABC，
所以正三角形ABC的高h=

3

就是这个四棱锥A-BCC₁B₁的高，
又AB₁=4，AB=2，所以BB1=2

3

．
于是 V四棱锥A-BCC1B1=

1

3

S矩形_BCC1B_
=

1

3

×2

3

×2×

3

=4．…（4分）
（Ⅱ）当D为AC中点时，有AB₁∥平面BDC₁．
证明：连接B₁C交BC₁于O，连接DO，
∵四边形BCC₁B₁是矩形∴O为B₁C中点，
∵AB₁∥平面BDC₁，且AB₁?平面BDC₁，DO?平面BDC₁
∴DO∥AB₁，∴D为AC的中点．…（8分）
（III）建立空间直角坐标系B-xyz如图所示，
则A(

3

，1，0)，C（0，2，0），C1(0，2，2

3

)，B1(0，0，2

3

)，
所以

AB1

=(-

3

，-1，2

3

)，

B1C

1=(0，2，0)，

AC

=(-

3

，1，0)，

CC

1=(0，0，2

3

)，
设

n1

=(x，y，z)为平面B₁AC₁的法向量，
则有

B1C1 • n1 =2y=0 AB1 • n1 =- 3 x-y+2 3 z=0

，令z=1，可得平面B₁AC₁的一个法向量为

n1

=(2，0，1)，
设

n2

=(x，y，z)为平面ACC₁的法向量，则有

C1C1 • n2 =2 3 z=0 AC • n2 =- 3 x+y=0

，
令x=-1，可得平面ACC₁的法向量

n2

=(-1，-

3

，0)，
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

-2

5 ×2

=-

5

5

，
所以二面角B₁-AC₁-C的余弦值为-

5

5

…（12分）
注：本题也可以不建立坐标系，解法从略，请按三小题分值给分

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，棱锥的体积，直线与平面平行的判定，其中（I）的关键是判断出五面体A-BCC₁B₁的底面及高，（II）的关键是证得DO∥AB₁，（III）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题．