Question

如图：五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4，△ABC 是正三角形，AB=2，四边形  BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁为直二面角，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角C-BC₁-D的大小；
（3）若A、B、C、C₁为某一个球面上的四点，求该球的半径r．

Answer 1

分析：（1）连接B₁C交BC₁于O，连接DO，由三角形的中位线性质可得  DO∥AB₁，从而证明AB₁∥平面BDC₁．
（2）过点D作DN⊥BC于点N，过点N作HH⊥BC₁，连接DH，则易知∠DHN为二面角C-BC₁-D的平面角，分别求出DN，NH的长，即可得二面角C-BC₁-D的大小；
（3）取AC₁的中点M，连接DM，则DM∥CC₁．以DA、DB、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则可求球的半径．

解答：（1）证明：连接B₁C交BC₁于点O，则O为B₁C中点，连接OD，
则在△B₁AC中，AB₁∥OD．
∵OD?平面BDC₁，AB₁?平面BDC₁．
∴AB₁∥平面BDC₁．…（3分）
（2）过点D作DN⊥BC于点N，则
∵二面角A-BC-C₁为直二面角
∴DN⊥平面CBC₁．
过点N作HH⊥BC₁，连接DH，则由三垂线定理知DH⊥BC₁．
∴∠DHN为二面角C-BC₁-D的平面角．…（4分）
∵DN=DC•sin60°=

3

2

，
∴CN=

1

2

，BN=

3

2

．…（5分）
∵△ABB₁为直角三角形，
∴CC1=BB1=2

3

，
∴BC₁=4．…（6分）
∵Rt△BNH～Rt△BC₁C
∴

BN

BC1

=

NH

CC1

，
∴HN=

3 3

4

．…（7分）
∴tan∠DHN=

DN

NH

=

3 2

3 3 4

=

2

3

，
∴二面角C-BC₁-D的大小为arctan

2

3

．…（8分）
（3）取AC₁的中点M，连接DM，则DM∥CC₁．
以DA、DB、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz（如图所示）．…（9分）   
则A（1，0，0），C₁（-1，0，2

3

），
设球心为点O，O到平面ABC的距离为h，则O（0，

3

3

，h）．…（10分）
∵OC₁=OA=r，
∴

1+ 1 3 +(2 3-h )2

=

1+ 1 3 +h2

，
∴h=

3

，
∴r=

1+ 1 3 +h2

=

39

3

．…（12分）

点评：本题以多面体为载体，考查线面平行，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，解题的关键是利用线线平行证明线面平行，正确作出二面角的平面角．