Question

如图，五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四边形BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁为直二面角．
（Ⅰ）D在AC上运动，当D在何处时，有AB₁∥平面BDC₁，并且说明理由；
（Ⅱ）当AB₁∥平面BDC₁时，求二面角C-BC₁-D余弦值．

Answer 1

分析：（I）由题意连接B₁C交BC₁于O，连接DO由于四边形BCC₁B₁是矩形且O为B₁C中点又D为AC中点，从而DO∥AB₁，在由线线平行，利用线面平行的判定定理即可；
（II）由题意建立空间直角坐标系，先求出点B，A，C，D及点C₁的坐标，利用先求平面的法向量，在由法向量的夹角与平面的夹角的关系求出二面角的余弦值的大小．

解答：解：（Ⅰ）当D为AC中点时，有AB₁∥平面BDC₁，
证明：连接B₁C交BC₁于O，连接DO∵四边形BCC₁B₁是矩形
∴O为B₁C中点又D为AC中点，从而DO∥AB，
∵AB₁?平面BDC₁，DO?平面BDC₁∴AB₁∥平面BDC₁
（Ⅱ）建立空间直角坐标系B-xyz如图所示，则B（0，0，0），A（

3

，1，0），C（0，2，0），D（

3

2

，

3

2

，0），C₁（0，2，2

3

），
所以

BD

=（

3

2

，

3

2

，0），

BC1

=（0，2，2

3

）．
设

n1

=（x，y，z）为平面BDC₁的法向量，则有

3 2 x+ 3 2 y=0 2y+2 3 z=0

，即

x=3z y=- 3 z

令Z=1，可得平面BDC₁的一个法向量为

n1

=（3，-

3

，1），
而平面BCC₁的一个法向量为

n2

=（1，0，0），
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

13

=

3 13

13

，故二面角C-BC₁-D的余弦值为

3 13

13

．

点评：（I）此问重点考查了线面平行的判定定理，还考查了中位线的平行的性质定理，及学生的空间想象能力
（II）此问重点考查了利用空间向量的知识，及平面的法向量的夹角与二面角的大小联系；此外还考查了学生的计算能力．