Question

如图，五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四边形BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁为直二面角．
（Ⅰ）若D是AC中点，求证：AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求该五面体的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接B₁C交BC₁于O，连接DO，由三角形的中位线性质可得  DO∥AB₁ ，从而证明AB₁∥平面BDC₁ ．
 （Ⅱ）过A作AH⊥BC，垂足为H，求出棱锥的高AH和矩形BCC₁B₁的面积，代入体积公式进行运算．

解答：解：（Ⅰ）证明：连接B₁C交BC₁于O，连接DO，∵四边形BCC₁B₁是矩形，
∴O为B₁C中点又D为AC中点，从而，DO∥AB₁ ．
∵AB₁?平面BDC₁，DO?平面BDC₁，∴AB₁∥平面BDC₁ ．
（Ⅱ）过A作AH⊥BC，垂足为H，∵△ABC为正三角形，∴H为BC中点，AH=

AB2-BH2

=

3

，∵二面角A-BC-C₁为直二面角，∴AH⊥面BCC₁B₁，又BB1=

A B 2 1 -AB2

=2

3

，故矩形BCC₁B₁的面积S=BC•BB1=2×2

3

=4

3

，
故所求五面体体积V=VA-BCC1B1=

1

3

S•AH=

1

3

•4

3

•

3

=4．

点评：本题考查证明线面平行的方法，求椎体的体积．证明 DO∥AB₁ 是解题的关键．