题目内容

(2012•莆田模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,△PAC,△ABC分别是以A、B为直角顶点的等腰直角三角形,AB=1.
(1)现给出三个条件:①PB=
3
;②PB⊥BC;③平面PAB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件,并证明:PA⊥平面ABC;
(2)在(1)的条件下,求三棱锥P-ABC的体积.
分析:(1)选取条件:①PB=
3
,证明∠PAB=90°,根据PA⊥AC,可证PA⊥平面ABC;
(2)利用VP-ABC=
1
3
PA×S△ABC
,即可得到结论.
解答:解:(1)选取条件:①PB=
3
,证明如下:
在等腰直角△ABC中,∵AB=1,∴BC=1,AC=
2

∵PA=AC,∴PA=
2

在△PAB中,AB=1,PA=
2
,PB=
3

∴AB2+PA2=PB2
∴∠PAB=90°
∴PA⊥AC
∵AB∩AC=A,PA⊥AB
∴PA⊥平面ABC;
(2)由(1)知,PA⊥平面ABC
VP-ABC=
1
3
PA×S△ABC
=
1
3
×
2
×
1
2
×12=
2
6
点评:本题主要考查空间直线与直线,直线与平面的位置关系,考查三棱锥的体积,考查空间想象能力,属于中档题.
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