题目内容
【题目】设、分别是椭圆的左、右焦点,、两点分别是椭圆的上、下顶点,是等腰直角三角形,延长交椭圆于点,且的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆上异于、的动点,直线、与直线分别相交于、两点,点,试问:外接圆是否恒过轴上的定点(异于点)?若是,求该定点坐标;若否,说明理由.
【答案】(1);(2)是,且定点坐标为.
【解析】
(1)利用椭圆的定义可求得的值,再由是等腰直角三角形可求得、的值,由此可得出椭圆的方程;
(2)设点,求出直线、的斜率之积为,设直线的方程为,可得出直线的方程,进而可求得点、的方程,假设的外接圆过轴上的定点,求出的外接圆圆心的坐标,由结合两点间的距离公式可求得的值,进而可求得定点的坐标.
(1)因为的周长为,由定义可得,,
所以,所以,
又因为是等腰直角三角形,且,所以,
所以椭圆的方程为:;
(2)设,,则,
所以直线与的斜率之积,
设直线的斜率为,则直线的方程为:,
直线的方程:,
由,可得,同理,
假设的外接圆恒过定点,,
由于线段的垂直平分线所在直线的方程为,
线段的垂直平分线所在直线的方程为,则其圆心,
又,所以,解得,
所以的外接圆恒过定点.
练习册系列答案
相关题目