Question

【题目】如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为 ．若M是BC的中点，求：

（1）三棱锥P﹣ABC的体积；
（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为PA⊥底面ABC，PB与底面ABC所成的角为

所以

因为AB=2，所以

（2）解：连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MN∥AC

所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角

计算可得： ，MN=1，

异面直线PM与AC所成的角为

【解析】（1）欲求三棱锥P﹣ABC的体积，只需求出底面积和高即可，因为底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面积可用 来计算，其中a是正三角形的边长，又因为PA⊥底面ABC，所以三棱锥的高就是PA长，再代入三棱锥的体积公式即可．（2）欲求异面直线所成角，只需平移两条异面直线中的一条，是它们成为相交直线即可，由M为BC中点，可借助三角形的中位线平行于第三边的性质，做出△ABC的中位线，就可平移BC，把异面直线所成角转化为平面角，再放入△PMN中，求出角即可．