分析:(I)以B为坐标原点,以BA,BC,BB1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,写出要用的点的坐标,设出棱锥的高,根据异面直线A1B与AC成60°的角,写出两条异面直线的夹角,求出高,再求出异面直线所成的角.
(II)根据建立的坐标系,看出平面的一个法向量,设出另一个平面的法向量,根据法向量与平面上的向量数量积等于0,求出一个法向量,根据两个向量的夹角做出二面角的值.
(III)将此直三棱柱补形为正方体ABCD-A1B1C1D1,如图2.在旋转过程中,线段BC1任意一点到轴OO1的距离保持不变,设BC1的中点为M,OO1的中点为O2,则O2M是异面直线OO1与BC1的公垂线段,建立空间直角坐标系,不失一般性,设点N在线段MC1上,并设正方体边长为2,MN=t,PN=d.做出结果
解答:解:如图1,以B为坐标原点,以BA,BC,BB
1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),0(1,1,0)
(Ⅰ)设棱锥的高为h,则A
1(2,0,h),C(0,2,0),
=(2,-2,0).
∴cos<
?,>=,
即cos60°=
,解得h=2.
∴E(0,0,1),A
1(202),
=(-2,0,-1).
∵F为棱B
1C
1上的动点,故可设f(0,y,2).
∴
=(-1,y-1,2).
又
•=(-2,0,-1)•(-1,y-1,2)=0∴
⊥,即异面直线A
1E与OF成角为90°
(Ⅱ)易知平面A
1CC
1的一个法向量为
=(1,1,0),设平面A
1B
1C的一个法向量为
=(x,y,1),则
=(x,y,1)•=(x,y,1)•(-2,2,-2)=-2x+2y-2=0,…①
•=(x,y,1)•(-2,0,0)=-2x=0.…②
由①、②,得
=(0,1,1.).
∴cos<
,>=
==,
∴<
,>=60°.
即二面角B
1-A
1C-C
1的大小为60°.
(Ⅲ)将此直三棱柱补形为正方体ABCD-A
1B
1C
1D
1,如图2.在旋转过程中,线段BC
1任意一点到轴OO
1的距离保持不变,
设BC
1的中点为M,OO
1的中点为O
2,则O
2M是异面直线OO
1与BC
1的公垂线段.
设N是线段BC
1上任意一点,N在轴OO
1上的射影为P.
以正方体的中心O
2,主点建立空间直角坐标系,不失一般性,设点N在线段MC
1上,并设正方体边长为2,MN=t,PN=d.
∵<
,>=45°,
∴N
(-t,1,t),P(O,O,t).
在Rt△OPN中,由O
2P
2+PN
2=O
2N
2,得
d
2+
t2=t2+1+t2,∴
d2-=1.
即d与t之间满足双曲线关系,故选D.
点评:本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角和距离的问题,本题解题的关键是建立合适的坐标系,把逻辑性很强的理论推导转化成数字的运算,降低了题目的难度.