题目内容

如图①,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA=BC=2,∠ABC=90°,异面直线A1B与AC成60°的角,点O、E分别是棱AC和BB1的中点,点F是棱B1C1上的动点.
(Ⅰ)求异面直线A1E与OF所角的大小;
(Ⅱ)求二面角B1-A1C-C1的大小;
(Ⅲ)设O1为A1C1的中点,如图②,将此直三棱柱ABC-A1B1C1绕直线O1O旋转一周,线段BC1旋转后所得图形所得必定是
 
.(只需填上你认为正确的选项,不必证明)
精英家教网
分析:(I)以B为坐标原点,以BA,BC,BB1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,写出要用的点的坐标,设出棱锥的高,根据异面直线A1B与AC成60°的角,写出两条异面直线的夹角,求出高,再求出异面直线所成的角.
(II)根据建立的坐标系,看出平面的一个法向量,设出另一个平面的法向量,根据法向量与平面上的向量数量积等于0,求出一个法向量,根据两个向量的夹角做出二面角的值.
(III)将此直三棱柱补形为正方体ABCD-A1B1C1D1,如图2.在旋转过程中,线段BC1任意一点到轴OO1的距离保持不变,设BC1的中点为M,OO1的中点为O2,则O2M是异面直线OO1与BC1的公垂线段,建立空间直角坐标系,不失一般性,设点N在线段MC1上,并设正方体边长为2,MN=t,PN=d.做出结果
解答:解:如图1,以B为坐标原点,以BA,BC,BB1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),0(1,1,0)
精英家教网
(Ⅰ)设棱锥的高为h,则A1(2,0,h),C(0,2,0),
CA
=(2,-2,0)

∴cos<?
BA1
CA
>=
BA1
CA
|
BA1
|•|
CA
|

即cos60°=
4
2
2
4+h2
,解得h=2.
∴E(0,0,1),A1(202),
A1E
=(-2,0,-1)

∵F为棱B1C1上的动点,故可设f(0,y,2).
OF
=(-1,y-1,2)

A1E
OF
=(-2,0,-1)•(-1,y-1,2)=0

A1E
OF
,即异面直线A1E与OF成角为90°
(Ⅱ)易知平面A1CC1的一个法向量为
BO
=(1,1,0),设平面A1B1C的一个法向量为
n
=(x,y,1),则
n
=(x,y,1)
n
A1C
=(x,y,1)•(-2,2,-2)=-2x+2y-2=0,…①
n
A1C
=(x,y,1)•(-2,0,0)=-2x=0.…②
由①、②,得
n
=(0,1,1.)

∴cos<
n
BO
>=
n
BO
|
n
|•|
BO
|
=
1
2
2
=
1
2

∴<
n
BO
>=60°.
即二面角B1-A1C-C1的大小为60°.
(Ⅲ)将此直三棱柱补形为正方体ABCD-A1B1C1D1,如图2.在旋转过程中,线段BC1任意一点到轴OO1的距离保持不变,
设BC1的中点为M,OO1的中点为O2,则O2M是异面直线OO1与BC1的公垂线段.
设N是线段BC1上任意一点,N在轴OO1上的射影为P.
以正方体的中心O2,主点建立空间直角坐标系,不失一般性,设点N在线段MC1上,并设正方体边长为2,MN=t,PN=d.
∵<
OO1
BC1
>=45°,
∴N(-
2
2
t,1,
2
2
t),P(O,O,
2
2
t)

在Rt△OPN中,由O2P2+PN2=O2N2,得
d2+
1
2
t2=
1
2
t2+1+
1
2
t2
,∴d2-
t2
2
=1

即d与t之间满足双曲线关系,故选D.
点评:本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角和距离的问题,本题解题的关键是建立合适的坐标系,把逻辑性很强的理论推导转化成数字的运算,降低了题目的难度.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网