题目内容
【题目】如图,长方体的底面
是正方形,点
在棱
上,
.
(1)证明:平面
;
(2)若,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)根据长方体性质可知平面
,从而
,由题意
,即可由线面垂直的判定定理证明
平面
;
(2)由题意,设
,建立空间直角坐标系,即可写出各个点的坐标,求得平面
和平面
的法向量,即可由两个平面的法向量求得二面角
夹角的余弦值,再由同角三角函数关系式即可求得二面角
的正弦值.
(1)由已知得,平面
,
平面
,
故.
又,且
,
所以平面
.
(2)由(1)知.由题设知
,所以
,
故,
. 设
,以
为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
:
则,
,
,
,
,
,
.
设平面的法向量为
,则
即
.
所以可取.
设平面的法向量为
,则
即
所以可取.
于是.
由同角三角函数关系式可得二面角的正弦值为
.
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练习册系列答案
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【题目】某大学为了调查该校学生性别与身高的关系,对该校1000名学生按照的比例进行抽样调查,得到身高频数分布表如下:
男生身高频率分布表
男生身高 (单位:厘米) | ||||||
频数 | 7 | 10 | 19 | 18 | 4 | 2 |
女生身高频数分布表
女生身高 (单位:厘米) | ||||||
频数 | 3 | 10 | 15 | 6 | 3 | 3 |
(1)估计这1000名学生中女生的人数;
(2)估计这1000名学生中身高在的概率;
(3)在样本中,从身高在的女生中任取3名女生进行调查,设
表示所选3名学生中身高在
的人数,求
的分布列和数学期望.(身高单位:厘米)