题目内容
【题目】已知四棱柱
的底面是边长为
的菱形，且
，
平面
，
，
于点
，点
是
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
和平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取
中点为
，求证四边形
为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；
（2）以
为坐标原点，建立空间直角坐标系，通过求解两平面法向量之间夹角的余弦值，从而求得二面角夹角的余弦值.
（1）证明：∵
，
，∴
是
中点，
取
中点，连
，
，如下图所示：
则在菱形
中，
，
//
∵
，//
，∴
，//
，
∴四边形
为平行四边形，∴
//
，
又
，
//
，∴四边形
为平行四边形，
∴
//，∴//，
又
平面
，
平面，
∴//平面.即证.
（2）以为原点，以
分别为
建立如图所示的空间的直角坐标系.
因为已知该四棱柱为直四棱柱，，
，
所以
为等边三角形.
因为，所以点是的中点.
故点
，
，
，
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，
，
.
由
得
取
，得
，
，
故
.
∵
，
，
，
∴
，∴是平面的法向量，
设平面和平面所成锐角为
，
则
.
即平面和平面所成锐角的余弦值为.
练习册系列答案
53随堂测系列答案
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【题目】高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系.为了了解考前学生的紧张程度与性别是否有关系，现随机抽取某校500名学生进行了调查，结果如表所示：
心情 性别 | 男 | 女 | 总计 |
正常 | 30 | 40 | 70 |
焦虑 | 270 | 160 | 430 |
总计 | 300 | 200 | 500 |
（1）根据该校调查数据,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“该学校学生的考前焦虑情况与性别有关”？
（2）若从考前心情正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从被抽取的7人中随机抽取2人，求这两人中有女生的概率.
附：
,
.
| 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
