题目内容
【题目】已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线 的右焦点,而且与x轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点 ,求抛物线和双曲线的方程.
【答案】解:由题意,设抛物线方程为y2=﹣2px(p>0)
∵抛物线图象过点 ,∴ ,解之得p=2.
所以抛物线方程为y2=﹣4x,准线方程为x=1.
∵双曲线的右焦点经过抛物线的准线,∴双曲线右焦点坐标为(1,0),c=1
∵双曲线经过点 ,∴
结合c2=a2+b2=1,联解得 或a2=9,b2=﹣8(舍去)
∴双曲线方程为 .
综上所述,抛物线方程为y2=﹣4x,双曲线方程为
【解析】根据题中的点在抛物线上,列式解出抛物线方程为y2=﹣2x,从而算出双曲线右焦点坐标为(1,0),可得c2=a2+b2=1.再由点 在双曲线上建立关于a、b的方程,联解得到a、b的值,即可得到双曲线的方程.