题目内容

设函数f(x)=lnx-px+1

(1)当P>0时,若对任意x>0,恒有f(x)≤0,求P的取值范围

(2)证明:    (n∈N,n≥2)

(1)P≥1   (2)证明如下


解析:

(1)f(x)=ln2x-px+1定义域(0,+∞),f′(x)=-p==

   当P>0时,令f′(x)=0,x=(0,+∞)

当x∈(0, )时,f′(x)>0   f(x)为增函数,

当x∈( ,+∞)时f′(x)<0

f(x)为减函数。

f(x)max=f()=ln

要使f(x)≤0恒成立只要f()=ln≤0

∴P≥1

(2)令P=1 由(1)知:lnx-x+1≤0

∴lnx≤x-1   n≥2

lnn2≤n2-1    

   =(n-1)-()

<(n-1)-[]

=(n-1)-(+)

=(n-1)-()

=

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