题目内容
设函数f(x)=lnx-px+1
(1)当P>0时,若对任意x>0,恒有f(x)≤0,求P的取值范围
(2)证明: (n∈N,n≥2)
(1)P≥1 (2)证明如下
解析:
(1)f(x)=ln2x-px+1定义域(0,+∞),f′(x)=-p==
当P>0时,令f′(x)=0,x=(0,+∞)
当x∈(0, )时,f′(x)>0 f(x)为增函数,
当x∈( ,+∞)时f′(x)<0
f(x)为减函数。
f(x)max=f()=ln
要使f(x)≤0恒成立只要f()=ln≤0
∴P≥1
(2)令P=1 由(1)知:lnx-x+1≤0
∴lnx≤x-1 n≥2
lnn2≤n2-1
∴
=(n-1)-()
<(n-1)-[]
=(n-1)-(+)
=(n-1)-()
=
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