题目内容

17．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过原点O作$\overrightarrow{OM}$，使$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AB}$，垂足为M，求点M的轨迹方程．

分析 由题中条件$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AB}$，从而得出点M的轨迹是以OF为直径的圆，依据其圆心（$\frac{1}{2}$，0），半径为$\frac{1}{2}$，写出其方程即可求得点M的轨迹方程．

解答 解：∵$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
∴∠OMF=90°，
∴点M的轨迹是以OF为直径的圆，其圆心（$\frac{1}{2}$，0），半径为$\frac{1}{2}$．
其方程为：（x-$\frac{1}{2}$）2+y2=$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了圆锥曲线的轨迹问题、抛物线的标准方程与性质．考查了学生分析和解决问题的能力，比较基础．

练习册系列答案
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20．设不等式2-x≥0的解集为A，集合B={x|x＜a，a∈R}，若B?A，则实数a的取值范围为a≤2．
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C．实数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b．类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2≥4b
D．以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2=r2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程为x2+y2+z2=r2
9．已知数列{an}是等差数列，且满足等式n•2n-1=a1${C}_{n}^{1}$+a2${C}_{n}^{2}$+…+an${C}_{n}^{n}$（n∈N*），试求出这个等差数列的通项an．
6．若2x+5y≤2-y+5-x，则有（　　）
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（1）若过点（0，1）的直线l与两圆相交所得的弦相等，求直线l的方程；
（2）若过点（-1.5，3.5）存在两条互相垂直的直线l和m，它们分别与两圆相交所得的弦相等，求直线l和m的方程．

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