Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90℃，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形，平面ABCD⊥平面PBD．
（I）证明：CD⊥平面PBD；
（II）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（I）取BC中点E，连结AE、BD，∵△PAB和△PCD都是等边三角形，∴AD=AB，
∵∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，∴四边形ABED为正方形，
设AB=2，则BD=CD=2 ，BC=4，
∴BD2+CD2=BC2 ，
∴CD⊥BD，
∵平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD=BD，
∴CD⊥平面PBD．
解：（II）由（I）知CD⊥平面PBD，又PD面PBD，∴CD⊥PD．
取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，
则FG∥CD，FG⊥PD．
连结AF，由△APD为等边三角形，得AF⊥PD．
∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角．
连结AG、EG，则EG∥PB．
又PB⊥AE，∴EG⊥AE，
设AB=2，则AE=2 ，EG= =1，
AG= =3，
在△AFG中，FG= = ，AF= ，AG=3，
∴cos∠AFG= =﹣ ．
∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为 ．

【解析】（I）取BC中点E，推导出四边形ABED为正方形，从而CD⊥BD，由此能证明CD⊥平面PBD．（II）由（I）知CD⊥平面PBD，从而CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，连结AF，得∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能示出二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．