题目内容

20．如图所示，AM是△ABC的BC边上的中线，试说明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）．

分析 利用勾股定理得AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2，进而由BD2=MC2+2MC•DM+DM2，CD2=MC2-2MC•DM+DM2，求出即可．

解答 证明：如图，作BC边上的高AD交BC于D，
则在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2，
在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2，
所以AB2+AC2=2AD2+BD2+CD2，
在在Rt△ADM中，AD2=AM2-DM2，
则AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2，
∵AM是△ABC的BC边上的中线，
∴BM=MC，
∴BD2=（BM+DM）2=（MC+DM）2=MC2+2MC•DM+DM2，
CD2=（MC-DM）2=MC2-2MC•DM+DM2，
∴AB2+AC2=2AM2-2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2-2MC•DM+DM2，
∴AB2+AC2=2（AM2+BM2）．

点评 本题考查勾股定理，三角形的中线及高的定义以及完全平方公式，需熟练掌握，属中档题．

练习册系列答案
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（1）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的大小；
（2）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$夹角的大小；
（3）求$\frac{|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$的值．
8．已知椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，离心率等于$\frac{1}{2}$，它的两个顶点恰好是双曲线$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1的焦点．
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①若直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，求四边形APBQ面积的最大值；
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15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD，AC丄AD，AB丄BC，∠BCA=45°，AP=AD=AC=2．
（Ⅰ）证明PC丄AD；
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5．如图所示，四边形ABCD、ABEF都是矩形，它们所在的平面互相垂直，AD=AF=1，AB=2，点M、N分别在它们的对角线AC、BF上，且CM=BN=a（0＜a＜$\sqrt{5}$），当MN的长最小时，a的值为（　　）
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9．设函数f（x）=aex+bx2（a＞0，b∈R），且f′（lna）=2lna+a2b．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）若直线y=x+1是函数y=f（x）图象的一条切线，求实数a的值．
10．如图，直二面角α-l-β中，AB?α，CD?β，AB⊥l，CD⊥l，垂足分别为B、C，且AB=BC=CD=1，则AD的长等于（　　）
A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{3}$C．2D．$\sqrt{5}$

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