题目内容
6.已知函数f(x)=cos(2x-$\frac{π}{2}$)-2x(x∈R).(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性和单调性:
(Ⅱ)是否存在实数m,使不等式f(2x-m+3)+f(x2-m2)≤0对x∈R恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请 说明理由.
分析 (1)对于函数f(x)=sin2x-2x,由f(-x)=-f(x),可得函数为奇函数.由f′(x)=2cos2x-2≤0,可得函数f(x)在R上单调递减.
(2)f(2x-m+3)+f(x2-m2)≤0对x∈R恒成立,即f(2x-m+3)<f(m2-x2 ).可得2x-m+3>m2-x2,即 x2+2x+3-m2-m>0恒成立,再由△<0,求得m的范围.
解答 解:(1)对于函数f(x)=cos(2x-$\frac{π}{2}$)-2x=sin2x-2x,由f(-x)=sin(-2x)-(-2x)=-sin2x+2x=-f(x),
可得函数为奇函数.
由f′(x)=2cos2x-2≤0,可得函数f(x)在R上单调递减.
(2)f(2x-m+3)+f(x2-m2)≤0对x∈R恒成立,即f(2x-m+3)<-f(x2-m2)恒成立,
即 f(2x-m+3)<f(m2-x2 ).
再根据函数f(x)在R上单调递减,可得2x-m+3>m2-x2,即 x2+2x+3-m2-m>0恒成立,
即△=4-4( 3-m2-m)<0,求得-2<m<1.
点评 本题主要考查函数的求偶性、单调性的判断和应用,函数的恒成立问题,属于中档题.
练习册系列答案
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16.求三个不相等的实数a,b,c最大值的程序框图如图所示,则空白判断框内应为( )
A. | a>b? | B. | a>c? | C. | d>b或a>c? | D. | a>b且a>c? |