题目内容

定义域为D的函数y=f（x），若存在常数a，b，使得对于任意x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，总有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．已知函数f（x）=x3-3x2图象的对称中心的横坐标为1，则可求得 f（0）+f（
1
3
）+f（
2
3
）+f（1）+f（
4
3
）+f（
5
3
）+f（2）=
-14
-14
．
分析：由题意先求出函数的对称中心，进而利用函数图象的对称中心的意义即可求出．
解答：解：∵已知函数f（x）=x3-3x2图象的对称中心的横坐标为1，
∴若取x1=0，则x2=2×1-0=2，
∴2b=f（0）+f（2）=0+23-3×22=-4，
∴此函数的对称中心为（1，-2）此点在函数图象上．
∴f（0）+f（2）=f(
1
3
)+f(
5
3
)=f(
2
3
)+f(
4
3
)=f（1）+f（1）=-4，因此可得 f（0）+f（
1
3
）+f（
2
3
）+f（1）+f（
4
3
）+f（
5
3
）+f（2）=3×（-4）-2=-14．
故答案为-14．
点评：正确理解函数图象的对称中心的意义是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫做闭函数．
（Ⅰ）请你举出一个闭函数的例子，并写出它的一个符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅱ）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅲ）判断函数f(x)=
3
4
x+
1
x
  (x＞0)是否为闭函数？并说明理由．
已知定义域为D的函数y=f（x），若对于任意x∈D，存在正数K，都有|f（x）|≤K|x|成立，那么称函数y=f（x）是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：
①f（x）=2x；
②f（x）=2sin（x+
π
4
）；     
③f（x）=x3-2x2+x；    
④f（x）=
x2
x2+x+1
，
其中是“倍约束函数”的是
①④
①④
．（将你认为正确的函数序号都填上）
对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=
3
4
x+
1
x
（x＞0）是否为闭函数？并说明理由．
（2012•泉州模拟）定义域为D的函数y=f（x），若存在常数a，b，使得对于任意x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，总有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．已知函数f（x）=x3-3x2图象的对称中心的横坐标为1，则可求得：f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=
-8046
-8046
．

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