题目内容
已知定义域为D的函数y=f(x),若对于任意x∈D,存在正数K,都有|f(x)|≤K|x|成立,那么称函数y=f(x)是D上的“倍约束函数”,已知下列函数:
①f(x)=2x;
②f(x)=2sin(x+
);
③f(x)=x3-2x2+x;
④f(x)=
,
其中是“倍约束函数”的是
①f(x)=2x;
②f(x)=2sin(x+
π |
4 |
③f(x)=x3-2x2+x;
④f(x)=
x2 |
x2+x+1 |
其中是“倍约束函数”的是
①④
①④
.(将你认为正确的函数序号都填上)分析:对于任意x∈D,存在正数K,都有|f(x)|≤K|x|成立?|
|≤k,对①②③④逐个分析判断即可.
f(x) |
x |
解答:解:①∵f(x)=2x,
∴存在正数2,都有|
|=|
|=2≤2,
∴①是“倍约束函数”;
②f(x)=2sin(x+
),
∵x→0+时|
|=|
|→+∞,故不存在正数k使得对于任意x∈D,都有|f(x)|≤K|x|成立,
∴②不是“倍约束函数”;
f(x)=x3-2x2+x,当x→+∞|
|=|x2-2x+1|→+∞,故不存在正数k使得对于任意x∈D,都有|f(x)|≤K|x|成立,
∴③不是“倍约束函数”;
④(x)=
,|
|=|
|=
,而|
|≤
,f故存在正数
使得对于任意x∈D,都有|f(x)|≤
|x|成立,
∴④是“倍约束函数”;
综上所述,是“倍约束函数”的是①④.
故答案为:①④
∴存在正数2,都有|
f(x) |
x |
2x |
x |
∴①是“倍约束函数”;
②f(x)=2sin(x+
π |
4 |
∵x→0+时|
f(x) |
x |
2sin(x+
| ||
x |
∴②不是“倍约束函数”;
f(x)=x3-2x2+x,当x→+∞|
f(x) |
x |
∴③不是“倍约束函数”;
④(x)=
x2 |
x2+x+1 |
f(x) |
x |
x |
x2+ x+1 |
|
1 | ||
x+
|
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
∴④是“倍约束函数”;
综上所述,是“倍约束函数”的是①④.
故答案为:①④
点评:本题考查函数的最值及其几何意义,将|f(x)|≤K|x|成立转化为|
|≤k,是关键,考查学生分析问题与综合应用的能力,属于难题.
f(x) |
x |
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