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（2012•泉州模拟）定义域为D的函数y=f（x），若存在常数a，b，使得对于任意x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，总有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．已知函数f（x）=x3-3x2图象的对称中心的横坐标为1，则可求得：f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=
-8046
-8046
．
分析：函数f（x）=x3-3x2图象的对称中心的坐标为（1，-2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=-4，再利用倒序相加，即可得到结论．
解答：解：由题意函数f（x）=x3-3x2图象的对称中心的坐标为（1，-2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=-4
∴f(
1
2012
)+f(
2
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)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)+f(
4023
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)+f(
4022
2012
)+…+f(
2
2012
)+f(
1
2012
)=-4×4023
∴f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=-8046
故答案为：-8046
点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加是关键．
练习册系列答案
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（Ⅱ）已知a＜0，若函数y=f（x）的图象总在直线y=-
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的下方，求a的取值范围；
（Ⅲ）记f′（x）为函数f（x）的导函数．若a=1，试问：在区间[1，10]上是否存在k（k＜100）个正数x1，x2，x3…xk，使得f′（x1）+f'（x2）+f′（x3）+…+f′（xk）≥2012成立？请证明你的结论．
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)+f(
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)+…+f(
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)+f(
4023
2012
)=（　　）

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