Question

如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=．

(1)求椭圆的方程；
(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

（1）；（2）证明过程详见解析.

解析试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由图形分析，利用CD和PQ的边长得出点E和点G的坐标，由于这2点都在椭圆上，联立方程得出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过对题意的分析，只需证明直线MA，MB的斜率之和为0即可，设出A，B点坐标，列出2条直线的斜率的表达式，直线与椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，列出两根之和与两根之积，而通过转化可以将得到的两根之和与两根之积代入，只要最后化简结果为0即可.
试题解析：(1)∵，∴点，
又∵，∴点，
则，解得，
∴椭圆方程.（4分）
(2)设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁＋k₂＝0即可，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则，，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，
得x²＋2mx＋2m²－4＝0可得x₁＋x₂＝－2m，x₁x₂＝2m²－4.（9分）
而



，（12分）
∴k₁＋k₂＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）
考点：1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.