题目内容
17.若0<$\frac{b}{2}$<a<b,当a-$\frac{1}{(a-b)(2a-b)}$取最小值时,a+b=( )A. | 4 | B. | 5 | C. | 6 | D. | 7 |
分析 由题意可得b-a>0,2a-b>0,从而化简a-$\frac{1}{(a-b)(2a-b)}$=(2a-b)+(b-a)+$\frac{1}{(b-a)(2a-b)}$,再利用基本不等式化简即可.
解答 解:∵0<$\frac{b}{2}$<a<b,
∴b-a>0,2a-b>0;
∴a-$\frac{1}{(a-b)(2a-b)}$=(2a-b)+(b-a)+$\frac{1}{(b-a)(2a-b)}$
≥2$\sqrt{(2a-b)(b-a)}$+$\frac{1}{(b-a)(2a-b)}$
=$\sqrt{(2a-b)(b-a)}$+$\sqrt{(2a-b)(b-a)}$+$\frac{1}{(b-a)(2a-b)}$
≥3;
(当且仅当2a-b=b-a=1时,等号同时成立);
解得,a=2,b=3;
故a+b=5;
故选B.
点评 本题考查了基本不等式的应用,注意等号是否成立,属于中档题.
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