Question

【题目】已知函数.

（1）证明：函数在区间上存在唯一的极小值点；

（2）证明：函数有且仅有两个零点.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）由导函数解析式可确定导函数在上单调递增；利用零点存在性定理可知存在唯一使得，由此可确定单调性，从而得到结论；

（2）①当时，由可知单调递减，由此可确定为的一个零点；②当时，由零点存在定理和（1）中单调性，可确定存在唯一的零点；③当时，令，由可确定单调递增，则，由此可确定，进而得到无零点；综合三种情况可得结论.

（1）

当时，函数和单调递减

函数单调递增

又由，

故存在唯一使得

且当时，；当时，

当时，函数单调递减；当时，函数单调递增

故函数在区间上存在唯一的极小值点

（2）①当时，由

又由，，可得，故在区间上函数单调递减

又由，故有

可得此时函数的零点为

②当时，由，

由（1）可知，此时函数在区间上有唯一的零点；

③当时，令

则，故此时函数单调递增

有

又由，故对，有

所以在区间上函数没有零点

综上所述，函数有且仅有两个零点